1 \(x-3\) est une fonction affine qui s'annule en \(3\) et \(x^2 - x - 2\) est un polynôme du second degré :
\(\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 9 \gt 0\) donc il y a deux racines
\(x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \times 1} = 2\) et \(x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \times 1} = -1\)
On en déduit les tableaux de signe : $$ \begin{array}{c|lcr|} x &-\infty & & -1 & & 2 & & 3 & & +\infty\\\hline x-3 & & - & & - & & - & 0 & + & \\ \hline x^2 - x - 2 & & + & 0 & - & 0 & + & & + & \\ \hline f (x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\ \end{array} $$

1 \(f' (x) = 3\times 2 x + 2 \times 1 - 0 = 6 x + 2\)

2 \(g' (x) = 2\times \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2 \times 3 x^2 = \frac{1}{\sqrt{x}} + 6 x^2\)

3 \(u = x^4 + x\) donc \(u'=4 x^3 + 1\)
\(v=2 x^2 - 3\) donc \(v'=4 x\)
Donc \(h' (x) = (4 x^3 + 1)(2 x^2 - 3) + (x^4 + x)\times 4 x\)
\(h' (x) = 8 x^5 - 12 x^3 + 2 x^2 - 3 + 4 x^5 + 4 x^2\)
\(h' (x) = 12 x^5 - 12 x^3 + 6 x^2 - 3\)

1 \(2 x + 1\) est une fonction affine qui s'annule en \(\frac{-1}{2}\) et \(x^2 - 3 x - 4\) est un polynôme du second degré :
\(\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 25 \gt 0\) donc il y a deux racines
\(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \times 1} = 4\) et \(x_2 =\frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \times 1} = -1\)
On en déduit les tableaux de signe : $$ \begin{array}{c|lcr|} x &-\infty & & -1 & & \frac{-1}{2} & & 4 & & +\infty \\\hline 2 x + 1 & & - & & - & 0 & + & & + & \\ \hline x^2 - 3 x - 4 & & + & 0 & - & & - & 0 & + & \\ \hline f (x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\ \end{array} $$

1 \(f' (x) = 4\times 2 x - 5 \times 1 + 0 = 8 x - 5\)

2 \(g' (x) = 3\times \frac{-1}{x^2} + 2 x = \frac{-3}{x^2} + 2 x\)

3 \(u = 2 x^3 + 1\) donc \(u'=6 x^2\)
\(v=x^2 - 7 x\) donc \(v'=2 x - 7\)
Donc \(h' (x) = 6 x^2 (x^2 - 7 x) + (2 x^3 + 1)(2 x - 7)\)
\(h' (x) = 6 x^4 - 42 x^3 + 4 x^4 - 14 x^3 + 2 x - 7\)
\(h' (x) = 10 x^4 - 56 x^3 + 2 x - 7\)